Katakana e Kanji.

 Katakana.

 O katakana é o alfabeto usado para escrever palavras e nomes de origem estrangeiros, de qualquer outra língua exceto chinês (veja a explicação a  na parte sobre kanji). Então é muito proválmente o que você usará para escrever seu nome por exemplo, a não ser que seu nome seja japonês ou chinês. Além dos nomes, expressões globalizadas também usam esse alfabeto. Com a globalização é cada vez mais usado em geral para expressar termos do inglês.
 Alguns exemplos:
マリア = Maria.
アイスクリーム =aisukuriimu do inglês ice cream.
 Como as sílabas do alfabeto japonês são limitadas, algumas adaptações são necessárias, em primeiro lugar como já foi dito, em japonês sempre se escreve como se lê e no caso das palavras estrangeiras se lê da forma mais aproximada dentro do que eles conseguem pronunciar, por tanto troca-se o l pelo r, o v pelo b e exceto pelo n/m todas as consoantes são completadas por u como ice= ais= aisu já sílabas complexas como cra ou gle são quebradas em duas que juntas dão um som aproximado, como bra=bura  então Vladmir vira Wadimiru, Viviane acaba sendo Bibiane, Ligia se torna Rijia a assim por diante. Nesse caso o ji derivado do tchi entra no lugar de di com um som quase como dji (veremos cada sílaba e som separadamente mais tarde).
 Outro fator importante da escrita japonesa é a ordem e a direção de cada traço que compõe as letras, um bom exemplo é o shi e o tsu do kataka diferença entre eles é a direção do traço mais longo, o shi é de baixo para cima e o tsu é de cima para baixo. Isso acontece por que as letras japonesas eram escritas originalmente com pincel e tinta, assim há diferença principalmente na grossura do traço e no rastro característico que fica quando puxa ou arrasta o pincel.

Retirado de http://en.wikipedia.org/wiki/Katakana.

 Kanji

 O kanji não é propriamente um alfabeto, cada simbolo tem um significado mas pode ter até seis formas diferentes de ler o mesmo kanji, pelo menos em japonês. O kanji na verdade veio da China há séculos, na China cada kanji tem um som próprio e um significado, em japonês os kanjis expressam idéias também mas a forma de ler varia. Um exemplo é o kanji  火  que normalmente é lido como hi = fogo, mas vira bi em 花(hana=flor) 火(bi= fogo) hanabi= fogos de artifício, são usados também como radical para verbos, substantivos etc, como mostrado no post anterior.
 Alguns exemplos de kanjis.